PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

 (Studi deskriptif tentang Persamaan Garis Singgung pada Parabola)

MAKALAH

Untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Geometri Analitik Datar

Disusun oleh:

~Ayanah Septianita               [11.84-202.007]

          ~Nurjanah Indah Prasetyo       [11.84-202.187]

~Wardatul Jannah                  [11.84-202.186]

Kelompok   : 7 (Tujuh)

Kelas            : 2A1

Prodi            : Pendidikan Matematika

FAKULTAS KEGURUAN & ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

2012

KATA PENGANTAR

       Untaian kalimat puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT. Sebab, karena kuasa-Nya saja proses penyusunan makalah ini dapat kami susun. Sebab, sebesar apapun keinginan dan semangat seorang hamba untuk melakukan sesuatu, namun tanpa pertolongan dan hidayah Allah, mustahil keinginan dan citanya terwujud. Karena pada hakikatnya segala daya dan upaya hanya milik Allah Ta’ala.

       Adapun maksud penulisan makalah ini adalah untuk memberikan penjelasan tentang persamaan garis singgung parabola. Dalam melaksanakan penyusunan ini, tidak terlepas dari pengarahan dan bimbingan semua pihak. Untuk itu, kami mengucapakan terima kasih kepada:

1.      Ibu Sumihar, M.Si. selaku dosen pembimbing mata kuliah Geometri Analit Datar

2.      Orang tua yang telah banyak membantu dari segi moril dan materil

3.      Semua pihak yang telah membantu demi kelancaran penyusunan makalah ini

       Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna dan masih banyak kekurangannya. Kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan guna kesempurnaan dimasa mendatang. Besar harapan kami semoga makalah ini dapat diterima dan memberikan manfaat kepada membaca. Aamiin …

Tangerang, 28 Juni 2012

Penyusun

_i

Daftar Isi

KATA PENGANTAR……………………………………………………………………  i

Daftar isi………………………………………………………………………………….. ii

 BAB I  Pendahuluan

A.    Latar belakang…………………………………………………………………….1

B.     Perumusan masalah….…………………………………………..……………….1

C.     Tujuan………………………………………………………………………...…...1

 BAB II  ISI

A.    Persamaan Garis Singgung Parabola

1.      Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x₁ , y₁) …………2

2.      Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m …………….3

BAB III  PENUTUP

A.    Soal Latihan ………………………………………………………………………… 7

 DAFTAR PUSTAKA

_i

BAB I

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri. Yang  berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Samgat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yamh berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.

Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubunngan dengan geometri. Materi yang kam bahas adalah persamaan garis singgung parabola.

Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan mateeri yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.

              

B.   Perumusan Masalah

1.      Bagaimana persamaan garis singgung parabola ?

2.      Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak ?

C.   Tujuan

Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah:

1.      Menentukan garis singgung parabola ?

2.      Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak ?

1

BAB II

ISI

A.   Persamaan Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.

1.     Persamaan garis singgung parabola melalui titik (x₁ , y₁)

o   Persamaan garis singgung y melalui titik  P (x_1, y₁)  yang terletak pada parabola , dapat dinyatakan sebagai:

 

Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

 

Dititik (x_1, y₁)  : m =   

Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y₁y = -2p (x +x₁ )        

     nilai m =    didistribusikan ke persamaan      diperoleh

 

o   Persamaan garis singgung yang melalui titik  P (x_1, y₁)  yang terletak pada parabola  x² = - 4py, dapat dinyatakan sebagai

 dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

                       

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	y2 = 4px	y1 y =2p (x + x1)
2	y2 = - 4px	y1 y  = - 2p (x + x1)
3	x2  = 4py	x1 x = 2p (y + y1  )
4	x2 = - 4py	x1 x  = - 2p (y + y1  )

2.     Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

·         Misalnya titik P (x_1, y₁) terletak pada parabola y² = -4px dan  : y = mx + b maka

Û x + b²  + 4px = 0

4p )x +  b²  = 0

Garis  menyinggung parabola y² = -4px, maka berlaku D = 0, sehingga b² – 4ac = 0

(2mb + 4p )²     – 4 m²  b²  = 0                                           

   = 0

 16mbp =

           mb =

           mb = - p

             b =

Subtitusi  b =  pada persamaan garis   , diperoleh y = mx  +

Jadi, persamaan garis singgung pada parabola  y² = -4px  dengan gradien  m adalah  y = mx  +

·         Misalnya titik  P (x_1, y₁)  terletak pada parabola x² = 4py dan

       : y = mx+b, maka

 

Garis  menyinggung parabola x² = 4py, maka beraku D = 0, sehingga: b² – 4ac = 0

y

x

y1 = mx – pm 2

y = mx + c

P(x,y)

 

  

Subtitusi    pada persamaan garis , diperoleh y = mx

Jadi persamaan garis singgung pada parabola  x² = 4py  dengan gradien m adalah  y = mx

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1.	y2 = 4px	y = mx +
2.
3.		y = mx
4.

3.     Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

a.       Untuk parabola dengan bentuk umum  (x – a)² = 4p (y – b)

Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola

(x –a)² = 4p (y – b)

Subtitusi y = mx + n

(x –a)²  = 4p (mx + n – b)

x² – 2ax + a² = 4pmx + 4p(n - b)

x² – 2ax + a² – 4pmx – 4p(n – b) = 0

x² – 2ax – 4pmx + a² – 4p(n – b) = 0

x² + ( -2a – 4pm)x  + a² – 4p(n – b) = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0

   ( -2a – 4pm)² – 4.1.(-4p(n – b ) + a² = 0

  4a² + 16pma + 16pm² + 16p ( n – b) – 4a² = 0

16pma + 16p²m² + 16p (n – b) = 0

--------------------------------------------------------------------- : 16p

ma + pm² + (n – b) =0

(n – b) = -ma – pm²

n = -ma  – pm² + b

y

x

y-b = m(x-a) – pm 2

y = mx + n

P(x,y)

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)² = 4p (y – b) diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai n = -ma  – pm² + b  pada y = mx + n

y = mx + n                                      

y = mx + ( -ma  – pm² + b)

y = mx – ma – pm2 + b

y – b = m( x – a ) – pm2

Ø Untuk p dengan bentuk umum (y – b)² = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n  dapat kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan parabola

    (y – b)² = 4p( x – a)

((mx + n) – b)² = 4p(x – a)

(mx – n) ² – 2(mx + n)b + b² = 4p( x - a)

m²x² + 2mxn + n² – 2mbx - 2bn + b² = 4p( x – a)

m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

Û(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0

Û4m²n² – 8m²nb – 4m²b² – 16mnp + 16mbp +16p² – 16m²pa + 8m²bn – 4m²n² – 4m²b²  = 0

Û - 16mnp + 16mbp + 16p² – 16m²pa = 0

---------------------------------------------------------- : 16p

Û - mn + mb + p – m²a = 0

Û - mn = - mb + m²a – p   

Û - mn =  m (ma – b) – p  

Û n =  - (ma – b) –

Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n

 y = mx + n

y = mx +  (- ma + b) –

(y – b)  = m(x – a) -                                    

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel di bawah ini.

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	(y – b)2 = 4p( x – a)
2
3
4

2. Persamaan garis singgung melalui titik (x₁, y₁)

Ø Persamaan garis singgung parabola (y – b)² =  4p( x – a)   di titik P (x₁, y₁)

 (y₁ – b)² =  4p( x₁ – a)

y₁² – 2by₁ + b² = (4p (x₁ – a)

y₁² = 2by₁ –b² + 4px(x₁ – a)    .........(i)

Persamaan garis singgung melalui P (x₁, y₁)

 adalah (y – y₁) = m (x – x₁)............(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

 

Jadi m di titik P (x₁, y₁) =

Subtitusi (iii) ke (ii)

  

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)

 

Ø Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x₁, y₁)

   

Persamaan garis singgung melalui p(x₁, y₁)  adalah

(y – y₁) = m (x – x₁) ……………….(ii)

Gradien m ditentukan  dengan cara sebagai berikut:

   

jadi m =

Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)

 

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)

           

           

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)² = 4p(y – b) di titik P (x₁, y₁)

 (x – a) (x₁ – a) = 2p (y +y₁ - 2p)

Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	(y – b)2 =  4p( x – a)	(y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2	(y – b)2 = -  4p( x – a)	(y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3	(x – a)2 = 4p(y – b)	(x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4	(x – a)2 = -  4p(y – b)	(x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)