I. Faktor Persekutuan
Besar (FPB)
Definisi 2.2
Jika a dan b adalah bilangan–bilangan bulat
maka bilangan bulat disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika
d|a dan d|b .
Oleh karena 1 adalah pembagi (faktor) dari
setiap bilangan bulat maka 1 adalah faktor persekutuan dari a dan b. Jadi
himpunan faktor persekutuan dari a dan b tidak pernah kosong.
Definisi 2.3
Jika a
dan b bilangan-bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu diantaranya tidak
sama dengan nol maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b ditulis
“(a,b)” adalah suatu bilangan bulat positif d yang memenuhi:
(i) d|a dan d|b , serta
(ii)
jika e|a
dan e|b maka e < d
Dari definisi tersebut
dapat dimengerti bahwa jika (a, b)= d maka, d > 1 apabila ada faktor persekutuan
lain, misalnya e maka e < d.
Contoh :
Faktor bulat positif dari -12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Faktor bulat positif dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Maka faktor persekutuan yang positif dari -12 dan 30 adalah 1, 2,
3, 6.
Jadi, faktor persekutuan terbesar dari -12 dan 30 adalah 6 , atau
dapat ditulis secara singkat sebagia (-12, 30) = 6.
Selanjutnya, dengan mudah dapat
ditunjukan bahwa:
(-5, 5) = 5; (8, 15) = 1; (8, -36) = 4; (-6,
-42) = 6.
Perhatikan bahwa (30, 105) = 15 dan
(30:15, 105:15) = (2, 7) = 1.
Apabila (a, b) = d, apakah (a:d,
b:d) = 1 ???
Misalkan (a:d, b:d) = c maka c >
1 dan c| (a:d) dan c|(b:d).
c |(a: d) maka ada bilangan bulat
m sehingga a:d = m c atau a = m c d.
c|(b: d) maka ada bilangan bulat n
sehingga b:d = n c atau b = n c d.
karena a = m c d dan b = ncd maka
cd adalah factor persekutuan dari a dan b. karena (a, b) = d maka cd <
d, yaitu c < 1, sebab d suatu bilangan bulat positif. Karena c >
1 maka c = 1.
Teorama 2.6
Jika (a ,b) = d maka (a:d, b:d) =
1
Apabila a dan b dua bilangan bulat
positif dengan (a, b) = 1 maka di katakan bahwa adan b saling prima atau a
prima relatif terhadap b.
Teorama 2.7
Jika a dan b
bilangan-bilangan bulat dengan a > 0
maka ada dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan bulat q dan r yang
memenuhi:
b = q a + r, dengan 0 < r
< a
Bilangan-bilangan
bulat q dan r dalam teorama itu berturut-turut disebut hasilbagi dan sisa dalam
pembagian b oleh a.
Bukti :
Dibentuk himpunan S = {b – xa: x
bilangan bulat daan b – xa > 0}. S bukan himpunan kosong sebab jika x
= -|b| dan karena a > 0 maka (b-xa )
S. karena S beranggotaan
bilangan-bilangan bulat tak negative berbentuk (b, -xa) maka S pasti memiliki
anggota terkecil , misalkan r.
Sesuai dengan bentuk dari S maka r = b – qa, untuk suatubilangan bulat q dan r >
0. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa r < a
Andaikan r > a maka r =
a + k dengan k > 0. Jadi k = r – a karena r = b – qa maka k = b – qa – a = b – ( 1+q) a. ini
berarti bahwa k adalah suatu anggota dari S. tetapi 0< k = r – a < r. hal ini tidak
mungkin karena r adalah bilangan bulat tidak negative yang terkecil daalam S.
oleh karena itu . pengandaian tersebut harus diiingkar. Jadi , r < a.
sehingga ada q dan r sedemikian sehingga b = qa + r dengan 0 < r <
a.
Selanjutnya, kita akan menunjukan ketunggalan dari q dan r.
misalkan bahwa b mempunyai dua representasi, yaitu:
b = aq + r = aq + r dengan 0< r < a dan 0 <
r* < a.
Maka r –r = a (q-q)
Sehinnga a|r – r .
Jika r – r
0 maka a < |r – r| , merupakan suatu
kontradiksi.
Jadi r – r = 0 dan q – q = 0 sehingga r = r
dan q = q.
Teorama 2.8
Jika b = aq + r maka (b, a) = (a, r)
Contoh :
Carilah (5767, 4453)
Penyelesaian: menggunakan algoritma pembagian.
5767= 1. 4453 + 1314 maka
(5767, 4453) = (4453, 1314)
4453 = 3. 1314 + 511 maka
(4453, 1314) = (1314, 511)
1314 = 2. 511 + 292 maka
(1314, 511) = (511, 292)
511 = 1. 292 + 73 maka (511, 292) = (292, 73)
292 = 4. 73 + 0 maka (292, 73) = (73, 0)
Jadi, (5767, 4453) = 73
Teorama 2.9
Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat tidak nol maka ada
bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian hingga .
ax + b = (a,
b)
Bukti:
Dibentuk himpunan S, yaitu
himpunan semua kombinasi linier dari a dan b yang bernilai positif
Teorama 2.10
Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol maka
a dan b saling prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan
bulat x dan y yang memenuhi:
ax + by = 1
II. Kelipatan
Persekutuan Kecil (KPK)
Definisi 2.4
Misalkan a dan b
adalah bilangan-bilangan bulat , m adalah kelipatan persekutuan dari a dan b
jika dan hanya jika a|m dan b|m.
Nol (0) adalah
suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. ab dan –ab masing-masing juga
merupakan suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. jadi , himpunan semua
kelipatan persekutuan bulat positof dari a dan b tidak pernah sama dengan
himpunan kosong.
Himpunan semua kelipatan bulat positif dari 6 adalah (6, 12, 18, 24, …)
Himpunan semua kelipatan bulat positif dari -9 adalah (9, 18, 27,
36, …)
Jadi himpunan semua kelipatan persekutuan dari 6 dan -9
adalah (18, 36, 54, 72, …)
Sehingga kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan -9 adalah 18
Definisi 2.5
Kelipatan persekutuan terkecil (kpk) dari dua bilangan bulat tidak
nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis [a, b] = m, apabila memenuhi:
(i) a\m dan b|m,
(ii) jika a|c dan b|c maka m < c
dalam definisi ini dapat dimengerti bahwa kelipatan dari setiap
dua bilangan bulat yang tidak nol selalu merupakan suatu bilangan bulat
positif. Dalam (i) pada definisi itu mengatakan bahwa masing-masing dari dua
bilangan itu membagi kelipatan persekutuan terkecilnya. Sedangkan (ii)
mengatakan bahwa kelipatan persekutuan lainnya tidak lebih keci dari KPK dari
dua bilangan itu.
Contoh :
[6,8] = 24 maka 6|24 dan 8|24.
Kelipatan persekutuan yang lain,
misalkan 48, 72, 96, … masing-masing lebih besar dari 24.
Teorama 2.12
Jika c adalah
suatu kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b maka KPK
dari a dan b membagi c, yaitu [a, b] | c.
Teorama 2.13
Jika c > 0 maka [ca, cb] = c [a, b]
Contoh :
[18, 30] = [6. 3, 6. 5]
= 6 [3, 5]
= 6. 15
= 90
Teorama 2.12
Jika adan b
bilangan-bilangan bulat yang keduanya positif maka :
(a, b)[a, b]
= ab
Contoh :
(16, 20) = 4, dan [16, 20] = 80
(16, 20)[16, 20] = 4. 80 = 320 =
16. 20 .
Kesimpulan
Faktor persekutuan terbesar (FPB)
dari a dan b ditulis “(a, b)” adalah suatu bilangan bulat positif d yang
memenuhi
(i)
d|a dan d|b , serta
(ii)
jika
e|a dan e|b maka e < d
kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a dan b yang keduanya
tidak nol, ditulis dengan notasi [a, b].
jika a dan b dua bilangan bulat positif maka (a, b) [a, b] = ab.
Atau denagn kata lain. Hasilkali FPB dan KPK dari dua bilangan bulat positif
sama dengan hasilkali dua bilangan itu.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar